Imaginez que vous participez à un jeu télévisé. Vous avez la chance de gagner une voiture flambant neuve, mais pour l'obtenir, vous devez choisir la porte où se trouvent les clés parmi les trois possibilités qui s'offrent à vous.

Derrière les deux autres portes se trouve un prix qui ne rassurerait personne : une chèvre.

Supposons que vous choisissiez la porte 2, celle du milieu, ce qui vous donne un pressentiment. Le présentateur veut alors vous aider et ajouter du piquant au concours en révélant ce qui se trouve derrière l'une des portes (il sait déjà où se trouvent les chèvres et où se trouve la voiture).

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Il ouvre donc la porte 3, où apparaît une chèvre grincheuse enfermée depuis longtemps.

Le présentateur vous fait une proposition : gardez-vous la porte 2 que vous avez choisie ou préférez-vous l'échanger contre la porte 1 ?

Si vous réfléchissez un peu, il reste deux possibilités, et vous pouvez supposer qu'il y a 50 % de chances que vous ayez raison et que vous gagniez la voiture, et 50 % de chances que vous repartiez avec une chèvre.

Mais si vous y réfléchissez plus attentivement, comme l'a fait Marilyn vos Savant, vous avez presque deux tiers de chances (66 %) de gagner la voiture.

Et tout cela est lié à quelque chose d'aussi simple ou d'aussi compliqué qu'une analyse de probabilité.

Le Guinness de l'intelligence

Marilyn Mach vos Savant, aujourd'hui âgée de 76 ans, a longtemps été la chroniqueuse de "Ask Marilyn", une rubrique d'un journal américain dans laquelle elle répondait à des questions, proposait des énigmes et donnait son avis sur de nombreux sujets.

Elle est également l'auteur de livres de fiction et de non-fiction, et a été une entrepreneuse dans le domaine de l'investissement. Mais dans son enfance, elle avait un autre titre, plus remarquable.

Après avoir passé quelques tests de QI, elle a obtenu 228 à l'un d'entre eux, soit plus du double de la moyenne.

Le livre Guinness des records l'a enregistrée de 1985 à 1989 comme la femme ayant le QI le plus élevé jamais enregistré. Pour cette raison, elle a été appelée "la personne la plus intelligente du monde".

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Vos Savant est la fille d'immigrés européens qui se sont installés dans la ville de Saint-Louis, dans le Missouri, au centre des États-Unis, où elle est née en août 1946.

Elle était convaincue que les gens devaient porter le nom de leurs deux parents. Elle a donc adopté le nom de jeune fille de sa mère, Savant, qui signifie curieusement "personne sage" en français.

Au fil de sa scolarité, elle excelle en mathématiques et en sciences à l'école. À l'âge de 10 ans, elle passe les tests de QI Stanford-Binet et Hoeflin's Mega. C'est à ce dernier qu'elle obtient un score de 228, que l'organisation Guinness prend en considération.

Depuis, elle est considérée comme une enfant prodige, ce qui n'a pas changé son mode de vie. Adolescente, elle a raconté qu'elle aidait dans le magasin de ses parents et qu'elle aimait lire.

Loin de s'intéresser à une prestigieuse université américaine de la Ivy League, elle choisit d'étudier la philosophie à l'université Washington, dans sa ville natale de Saint-Louis. Elle abandonne cependant ses études pour se consacrer à une entreprise familiale d'investissement.

Mais sa renommée pour le test de QI l'a suivie.

Dans les années 1970, elle a gagné suffisamment d'argent pour financer elle-même son désir de devenir écrivain. Elle a participé à des tests d'intelligence publiés, tels que l'Omni IQ et Quiz Contest, ainsi qu'à ses propres œuvres littéraires et à des articles dans des magazines et des journaux.

Après avoir déménagé à New York, elle est apparue à la fois dans le talk-show de David Letterman et dans celui de Joe Franklyn. Elle recevait presque toujours des questions sur ce qu'est l'intelligence.

"L'intelligence serait votre capacité globale à tirer profit de l'expérience, explique-t-elle à Joe Franklyn. Le QI pourrait, tout au plus, mesurer votre capacité à utiliser cette intelligence."

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À l'époque, elle crée la rubrique "Ask Marilyn" (Demandez à Marilyn), diffusée à l'échelle nationale dans le magazine Parade et incluse dans de nombreux journaux.

C'est en 1989 qu'elle a été interrogée sur le dilemme de la porte à choisir pour remporter le prix. Sa réponse a fait sensation, même parmi les statisticiens et les scientifiques.

La réponse à l'énigme

L'idée sur laquelle repose l'énigme de la voiture et des chèvres n'était pas nouvelle lorsqu'elle est apparue dans la colonne de vos Savant.

Quelques décennies plus tôt, elle était connue sous le nom de "problème de Monty Hall", d'après le nom de l'animateur de l'émission télévisée américaine "Let's Make a Deal", qui mettait en scène des situations similaires.

Le statisticien Steve Selvin, entre autres, a présenté une solution dans la revue académique American Statistician en 1975.

Mais c'est la réponse de vos Savant, dont la logique est très proche de celle de Selvin, qui a fait sensation.

"Oui, vous devriez changer. La première porte a un tiers de chances de gagner, mais la seconde a deux tiers de chances. C'est une bonne façon de visualiser ce qui s'est passé. Supposons qu'il y ait 1 million de portes et que vous choisissiez la porte numéro 1. L'animateur, qui sait ce qui se cache derrière les portes et évitera toujours celle qui contient le prix, les ouvre toutes, à l'exception de la porte 777 777. "Vous changez rapidement de porte, n'est-ce pas ?" peut-on lire dans sa réponse.

Sa déclaration a suscité une multitude de réactions. Vos Savant a déclaré avoir reçu quelque 10 000 lettres, dont environ 1 000 émanant de mathématiciens et de titulaires de doctorats dans diverses disciplines, comme l'a rapporté le New York Times dans un article paru en 1991.

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Robert Sachs, professeur à l'université George Mason, en Virginie, a déclaré : "Vous avez tout gâché ! En tant que mathématicien professionnel, je suis très préoccupé par le manque de compétences mathématiques du grand public. Aidez-nous en reconnaissant votre erreur et, à l'avenir, soyez plus prudent."

Pendant un certain temps, vos Savant a défendu sa réponse, malgré les critiques.

"Vous avez complètement tort, a écrit E. Ray Bobo, professeur de mathématiques à l'université de Georgetown. Combien de mathématiciens en colère faudra-t-il pour que vous changiez d'avis ?"

La réponse de vos Savant est correcte, à condition que le présentateur révèle ce qui se cache derrière la mauvaise porte et offre la possibilité de changer. C'est pourquoi ce problème appartient à la branche des probabilités conditionnelles.

En choisissant la porte, vous commencez le concours avec un tiers de chances de gagner. Les 2/3 restants sont sous le contrôle du présentateur. Vous avez peut-être choisi la bonne porte, mais vous n'avez encore que 33 % de chances de réussir.

Lorsque le présentateur révèle l'une des mauvaises options, si vous changez votre choix, vous ajoutez un tiers des chances (66 %) en votre faveur.

L'erreur habituelle est de supposer que vous avez 50 % de chances à ce moment-là, parce qu'une condition a déjà été remplie (l'ouverture d'une des portes), qui génère un nouveau scénario.

Changer la porte ne garantit pas que vous gagnerez la voiture, cela augmente seulement vos chances tant que la variable de l'ouverture d'une porte par le présentateur est remplie, qui ne sera jamais celle avec les clés de la voiture, mais une chèvre.

Cela a été prouvé à plusieurs reprises. Il y a quelques années, la BBC a participé à une expérience au cours de laquelle des étudiants de l'université de Cardiff ont été divisés entre présentateurs de programmes et candidats.

Ceux qui ont changé de présentateur ont eu environ deux fois plus de succès, puisque parmi les 30 candidats qui ont décidé de changer de présentateur, 18 ont gagné la voiture. En d'autres termes, le taux de réussite était de 60 %. En revanche, sur les 30 participants qui ont décidé de conserver leur choix, seuls 11 ont réussi, soit un taux de 36 %.

Vos Savant n'a pas reçu autant de lettres d'excuses que de critiques, mais l'une d'entre elles a été envoyée par le professeur Sachs, qui a déclaré : "Je suis maintenant en train de manger de l'humilité. J'ai promis, en guise de pénitence, de répondre à toutes les personnes qui m'ont écrit pour me réprimander. Cela m'a profondément embarrassé sur le plan professionnel."

D'autres ont fait valoir que la question initiale du lecteur qui a écrit à "Ask Marilyn" n'a jamais spécifié que le présentateur devait nécessairement proposer un échange ou révéler une porte.

Dans "Let's Make a Deal", Monty Hall avait en fait la possibilité de proposer un échange ou non, et allait même jusqu'à ajouter une variable supplémentaire : de l'argent liquide pour inciter le candidat à garder son premier choix, et plus il en offrait, plus il incitait le candidat à changer de porte et à échouer.

Offrir des cadeaux coûteux à tout le monde, comme une voiture, n'était pas le but de l'émission. Et M. Hall contrôlait la situation.